einsum¶

paddle. einsum ( equation, *operands ) [源代码] ¶

该函数用于对一组输入 Tensor 进行 Einstein 求和，该函数目前仅适用于动态图。

Einstein 求和是一种采用 Einstein 标记法描述的 Tensor 求和，输入单个或多个 Tensor，输出单个 Tensor。

如下的 Tensor 操作或运算均可视为 Einstein 求和的特例

单操作数

迹：trace

对角元：diagonal

转置：transpose

求和：sum

双操作数

内积：dot

外积：outer

广播乘积：mul，*

矩阵乘：matmul

批量矩阵乘：bmm

多操作数

广播乘积：mul，*

多矩阵乘：A.matmul(B).matmul(C)

关于求和标记的约定

维度分量下标：Tensor 的维度分量下标使用英文字母表示，不区分大小写，如'ijk'表示 Tensor 维度分量为 i,j,k

下标对应输入操作数：维度下标以`,`分段，按顺序 1-1 对应输入操作数

广播维度：省略号`...`表示维度的广播分量，例如，'i...j'表示首末分量除外的维度需进行广播对齐

自由标和哑标：输入标记中仅出现一次的下标为自由标，重复出现的下标为哑标，哑标对应的维度分量将被规约消去

输出：输出 Tensor 的维度分量既可由输入标记自动推导，也可以用输出标记定制化

自动推导输出

广播维度分量位于维度向量高维位置，自由标维度分量按字母顺序排序，位于维度向量低纬位置，哑标维度分量不输出

定制化输出

维度标记中`->`右侧为输出标记

若输出包含广播维度，则输出标记需包含`...`

输出标记为空时，对输出进行全量求和，返回该标量

输出不能包含输入标记中未出现的下标

输出下标不可以重复出现

哑标出现在输出标记中则自动提升为自由标

输出标记中未出现的自由标被降为哑标

例子

'...ij, ...jk'，该标记中 i,k 为自由标，j 为哑标，输出维度'...ik'

'ij -> i'，i 为自由标，j 为哑标

'...ij, ...jk -> ...ijk'，i,j,k 均为自由标

'...ij, ...jk -> ij'，若输入 Tensor 中的广播维度不为空，则该标记为无效标记

求和规则

Einsum 求和过程理论上等价于如下四步，但实现中实际执行的步骤会有差异。

第一步，维度对齐：将所有标记按字母序排序，按照标记顺序将输入 Tensor 逐一转置、补齐维度，使得处理后的所有 Tensor 其维度标记保持一致

第二步，广播乘积：以维度下标为索引进行广播点乘

第三步，维度规约：将哑标对应的维度分量求和消除

第四步，转置输出：若存在输出标记，则按标记进行转置，否则按广播维度+字母序自由标的顺序转置，返回转之后的 Tensor 作为输出

关于 trace 和 diagonal 的标记约定（待实现功能）

在单个输入 Tensor 的标记中重复出现的下标称为对角标，对角标对应的坐标轴需进行对角化操作，如'i...i'表示需对首尾坐标轴进行对角化

若无输出标记或输出标记中不包含对角标，则对角标对应维度规约为标量，相应维度取消，等价于 trace 操作

若输出标记中包含对角标，则保留对角标维度，等价于 diagonal 操作

参数¶

equation (str)：求和标记

operands (Tensor, [Tensor, ...])：输入 Tensor

返回¶

Tensor：输出 Tensor

代码示例¶

          import paddle
paddle.seed(102)
x = paddle.rand([4])
y = paddle.rand([5])

# sum
print(paddle.einsum('i->', x))
# Tensor(shape=[], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   1.95791852)

# dot
print(paddle.einsum('i,i->', x, x))
# Tensor(shape=[], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   1.45936954)

# outer
print(paddle.einsum("i,j->ij", x, y))
# Tensor(shape=[4, 5], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   [[0.00079869, 0.00120950, 0.00136844, 0.00187187, 0.00192194],
#    [0.23455200, 0.35519385, 0.40186870, 0.54970956, 0.56441545],
#    [0.11773264, 0.17828843, 0.20171674, 0.27592498, 0.28330654],
#    [0.32897076, 0.49817693, 0.56364071, 0.77099484, 0.79162055]])

A = paddle.rand([2, 3, 2])
B = paddle.rand([2, 2, 3])

# transpose
print(paddle.einsum('ijk->kji', A))
#  Tensor(shape=[2, 3, 2], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   [[[0.95649719, 0.49684682],
#     [0.80071914, 0.46258664],
#     [0.49814570, 0.33383518]],
#
#    [[0.07637714, 0.29374704],
#     [0.51470858, 0.51907635],
#     [0.99066722, 0.55802226]]])

# batch matrix multiplication
print(paddle.einsum('ijk, ikl->ijl', A,B))
# Tensor(shape=[2, 3, 3], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   [[[0.32172769, 0.50617385, 0.41394392],
#     [0.51736701, 0.49921003, 0.38730967],
#     [0.69078457, 0.42282537, 0.30161136]],
#
#    [[0.32043904, 0.18164253, 0.27810261],
#     [0.50226176, 0.24512935, 0.39881429],
#     [0.51476848, 0.23367381, 0.39229113]]])

# Ellipsis transpose
print(paddle.einsum('...jk->...kj', A))
# Tensor(shape=[2, 2, 3], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   [[[0.95649719, 0.80071914, 0.49814570],
#     [0.07637714, 0.51470858, 0.99066722]],
#
#    [[0.49684682, 0.46258664, 0.33383518],
#     [0.29374704, 0.51907635, 0.55802226]]])

# Ellipsis batch matrix multiplication
print(paddle.einsum('...jk, ...kl->...jl', A,B))
# Tensor(shape=[2, 3, 3], dtype=float32, place=CUDAPlace(0), stop_gradient=True,
#   [[[0.32172769, 0.50617385, 0.41394392],
#     [0.51736701, 0.49921003, 0.38730967],
#     [0.69078457, 0.42282537, 0.30161136]],
#
#    [[0.32043904, 0.18164253, 0.27810261],
#     [0.50226176, 0.24512935, 0.39881429],
#     [0.51476848, 0.23367381, 0.39229113]]])

         